確率に数列…高校数学で極めて心を折られやすい難しい単元集

suugakutsumi1

高校の各教科の中でも、異質な難しさをもつ「数学」。一分の隙もなく、上から下までよどみなく流れるように解答まで導かれた数式の記述というのはある種の芸術性さえ帯びるものですが、パズルを組み立てるような数学の醍醐味が理解できず、数学を好むか・出題者の意図を直感的に感じ取れるかという数学的センスも関係してくるので、難解な数学に心を折られてずっと苦手なまま、あるいはもうたまらずに文系へ逃げる、という高校生もかなり多いようです。

高校生の多くがつまずく、高校数学の難しい部門を調べてまとめました。ブログ管理人は確率と証明と漸化式が嫌いでした。

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何を求めればいいのか解答イメージが難しい「確率」

宝くじ当選

同じ条件の下で繰り返すことのできる実験,観察などの作業を試行といい,試行の結果起こる事柄を事象といいます。例えば「2個のサイコロを投げる」のは試行ですが,「家の前でお金を拾う」は試行ではありません。2個のサイコロを投げた結果起こる「2と5の目が出る」は事象の1つです。

ある特定の事象が起こる確率は,その事象の場合の数を,起こりうる全ての事象(全事象)の場合の数で割ったものです。ただし,全事象の1つ1つ(根元事象)は,その起こり方が「同様に確からしい」必要があります。

難しいので,具体例を挙げましょう。「2個のサイコロを投げるとき,目の和が3になる確率」の場合です。対象としている事象の場合の数は(Aの目,Bの目)=(1,2),(2,1)の2通りで,2個のサイコロを投げたときの全事象は36通りです。この36通りは全て平等に起こりうること,つまり同様に確からしいことですね。その36通りのうちの2通りが起これば目の和が3になるわけですから,求める事象の確率は 2/36 ということになります。

この分野では「順列と組合せ」の章で学んだ方法を用いて,求める事象と全事象の場合の数を求め,それを分数の形にして,確率を求めることになります。前の章の内容が分かっていれば,同じ感覚で学習することができるでしょう。

この分野において応用ともいえるのが,同じ試行を繰り返す反復試行,ある数値が平均してどれくらいの値で起こりやすいかを考える期待値の2つでしょう。前者では「サイコロを10回投げて,1の目が3回出る確率」といった問題を考え,後者では「サイコロを1回投げると,平均してどんな目が出るか」「宝くじを1枚買うと,平均していくらもらえる計算になるか」といったことを考察します。

確率が苦手な人達のコメント

  • これは確率
    場合分け間違うとアウトとか
  • 確率
    解説読んでも納得できない
  • 本当の恐さは確率
    二次だと問題文複雑にしすぎて作者の気持ち考えたくなる
  • 数列は項数がややこしくて嫌になった思い出
    なお既に確率でも死んでた模様
  • 文系やが確率でつまづく人けっこうおったで
  • 圧倒的に確率
    訳わかんねーよ
  • 確率は他の単元よりセンスが必要だと思うわ
  • 確率は何かやらかしてないか不安になる分野ではトップに来る希ガス
    センターで余った時間を再計算に費やした思い出

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雰囲気ががらりと変わりとまどう「証明」

会社仕事行きたくない

ある等式(A)が成り立つことを数学的帰納法によって証明するには,次のようにすればよい.

(I) n=1 のとき(A)が成り立つことを証明する.
(II) n=k のとき(A)が成り立つことを仮定する.
その仮定を使って
n=k+1 のとき(A)が成り立つことを証明する.

高校の教科書等の初等的な解説書ではドミノ倒しに例えて数学的帰納法を説明しているものも多い。 P(n)を「n枚目のドミノが倒れる」の意味だとすれば、上の論法は以下のようになる:

  1. 1枚目のドミノが倒れる事を示す。
  2. 任意の自然数 k に対して、「k 枚目のドミノが倒れる ⇒ k+1 枚目のドミノが倒れる」を示す。
  3. 以上の議論から全てのドミノが倒れる事が結論づけられる。

証明が苦手な人達のコメント

  • 証明で詰んだわ意味わからないあれ
    なんて書いたら正解なのか、どういう順番で書けばいいかも分からないまま終わった
  • 数学全般に対して言えることだが証明系はどうもダメだ。
    ただ解くだけでいいなら微積分だろうとそれなりに楽しかった。
  • 証明がダメだったねぇ
    いままで算数の延長線だったのが、何の前フリもなくいきなり世界が変わる。
    「数学の授業なのに一体何を言っているんだこいつは?」
    見たいな感じでいきなり分からなくなった。
    その後もなんとか誤魔化しながらついていったけど、あれだけは本当にダメだ。
  • 俺も証明
    それまでの計算はまあ決まり守ってとけばいいから
    積み木みたいなもんで完璧パーペキだったが
    証明がさっぱり理解できないままおとなになった
  • これは高校1年時の数学的帰納法
    n=kのときにn=k+1が成り立つてそんなんどうやって表現するんや・・?
    みたいな感じで躓いた
  • 証明だな
    あんなもの大学から好きなやつがやればいい
    どれだけのまだ算数数学に対して嫌悪感を持たない子供が証明のせいで算数嫌い数学嫌いになったことやら
  • 証明問題で0点取って詰んだ
    数学で証明せよ、ってイミフすぎた
  • 塾講師やってたら証明で詰む生徒ほんと多かったな

文系…遊んでいるイメージ&就職で理系に敗れしかも文系廃止
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一般項を求めたり計算量の多さが苦手「数列」

宝くじ破滅末路

数字の列を「数列」といいます。

もちろん数学が対象とできるのは,ある程度の規則を持った数列です。数列の学習が目指すのは,n番目はどんな数であるかを調べる(一般項を求める)ことと,数列の初めからn番目まで足したらいくらになるかを求める(和を求める)ことの2つです。高校で扱う「数列」という分野は,大きく4つの部分に分けることができます。

まず第1部では,等差数列,等比数列の一般項,和を学習します。等差数列とは一定の量だけ増えていく(減っていく)数列のことで,等比数列とは一定の倍率で変化していく数列のことです。この2つの数列は,数列の中でももっとも単純で基本的なものです。

次に数列の和を定式化し,求めやすくするために,記号Σを導入します。数学が対象とする数列の和はほぼ全てΣを用いて表すことができます。この記号は数列の和の分野において,いわば新しい「言語」ですのでこの記号を使いこなせることは,数列の和の理解に大きな意味を持ちます。Σを利用し,階差数列を用いて一般法を求める方法を学習しますが,これは数列の問題を解く上で強力な武器となります。

第3部では漸化式を学習します。数列を表現する方法は大きく2通りの方法があります。例えばある数列
1,3,5,7,9,11,13,・・・・・・
を表現する場合,
(1) 第n項を指示する方法・・・an=2n-1(第n項は「2n-1」である,と言う方法)
(2) 2項間に成り立つ性質を式にする方法
・・・an=1,an+1=an+2(1から始まり,第n項に2を加えたら第n-1項になると言う方法)
のようになります。(1)の方法は簡潔で分かりやすく,第100項は何か?と問われても簡単に答えることができますが,いきなり一般項anを求めるのは簡単なことではありません。

最後の第4部では,数学的帰納法という証明方法を学習します。これは自然数を含む式の証明に用いられ,ドミノ倒しのような原理を用いた大変画期的な方法です。

数列が苦手な人達のコメント

  • 高二のときクラブ活動にはまって(文化系)
    勉強しなくなり行列・数列でアウト
    赤点とって3年の理系クラス進級あきらめた
  • 数列かなあ。数学B。
  • 何のためにこうするのかわからないと分野によっては全然ダメだったわ
    群数列が抜群に苦手だった
    一つ一つの式とかは理解できるし計算もできるけど、
    なんでこのタイミングでこの式が必要なのか理解できなくて最後まで克服できなかった
  • 未だにシグマの意味が分かりません
    いや求める意味とか計算の内容は理解できるんだけど、あの表記にする意味が本気でわからない
    他と比べて妙に浮いて見えるからかもしれない
  • 数Bで俺は数学を諦めた
    ベクトルも数列も意味不明
  • 数列と確率の融合問題なんか出てきたら完全に思考が止まってた
  • 数列は消えてどうぞ

他にも

  • 三角関数
  • 整数
  • 微積分
  • ベクトル
  • 複素数平面

のような単元でつまずく人が多い。
高校数学のほぼ全ての分野で詰む要素満載……。




高校数学の不満なところ

igakubutruth1

高校じゃ意味わかんなかったけど大学入ってちゃんと勉強したらわかった
授業で触れないにしてももっと詳しく説明された教科書欲しかったわ
解き方だけ教えられても何のためにやってるのか気になって集中できない

小学校で2割
中学校で5割
高校で7割
の人が数学で躓くらしい

俺はやっぱりなにやってるかイメージできないのが苦手だった
虚数ってなんだ…?
みたいな事考え出すと問題が解けなくなる

高校数学って本当つまらんよな
なんか解くための問題を解かされてるみたいで

用途不明の数学が、どこで活きるのか判った時にやる気でる
幾何の証明が波などの物理に発展/応用されると判ってたら、俺だって最初から頑張ってたよ
数学は道具っていうけど、なんのための道具かっつー説明も兼ねて一つの体系とすべき。特にこれは、中学数学に求められることだわ

タイプによって苦手分野が分かれる感じでしょ
新しい概念を取り入れるのが苦手→ベクトル
基礎はしっかりしてるけど難しい問題を考えたくない→整数
意味とか実生活とかに根差していないといや→数列
しらみつぶしとか嫌い、普段も感覚で生きてる→確率
みたいな

小学生と中学生の時はまだジグソーパズルなのよね、やってて楽しいし誰でもできる
高校になるとルービックキューブになってもうわけわかんない

2017年冬アニメの視聴継続中の作品 第1位!




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